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수학의 힘(장우석)

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수학은 학문의 원형이다. 지금까지 논리(연역추론과 개연추론), 도형(기하학)과 수(대수학)라는 수학의 세요소와 변화를 이해하는 수단, 구조를 이해하는 수단으로서의 함수, 변화률과 변화의 총량에 대한 이해인 미적분까지 수학의 여러모습과 발전과정을 살펴보았다. 그것은 실제적인 문제를 해결하는 과정에서 발생한 '도형과 수'라는 언어로 구성된 개념들이 여러 가지 문제상황을 거치면서 새롭게 개념화 되고, 그를 통해서 여타 영역에 영향을 주고 새로운 사고를 불러일으키며 확장되는 과정이었다. 수학은 자연과학도 사회과학도 아니다. 그것은 인간사고의 다양한 가능성을 포괄하고 길러주는 사고방식(철학)으로서의 학문으로 외부환경을 분석하고 이론화해서 실제적인 문제를 해결하는 과학의 전형이기도 하다. 수학으로 내적인 사고역을 높이고 동시에 외적인 문제..
변화를 정밀하게 다루는 힘, 미적분 2 미분이 17세기 들어와서 변화하는 현상을 이해하는 과정에서 발생한 신생 개념인 반면 적분은 고대 그리스 중국 등에서 이미 사용되었던 개념이다. 극한 이용하여 원의 넓이를 구하는 과정에서 적분의 대표적인 사례다. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이나 부피를 구하는 과정에서 발생한 소박한 차원의 적분 개념이 근대에 들어와서 미분과 연결되면서 미적분이라는 통합개념이 생긴 것이다. 케플러는 행성운행 연구를 하면서 타원궤도 운동을 발견하였으며 바슷한 시기에 갈릴레오는 물체의 낙하운동을 연구하면서 포물선 등을 발견하였다. 뉴턴의 만유인력의 기초에서 행성 운행을 이해하고 그 위치를 찾는 과정에서 뉴턴은 적분이라는 아이디어를 생각해 낸 것이다. 날아가는 대포알도 하늘을 운행하는 행성도 시간의 흐름을 타고 위치를 계속 바꾼다..
변화를 정밀하게 다루는 힘, 미적분 1 17세기 합리성과 필연성의 철학을 궁극까지 밀고 감으로써 미적분이라는 새로운 개념을 정립한 사람이 뉴턴과 라이프니츠였다. 미적분은 변화의 패턴을 찾아서 구성한 함수를 보다 정밀하게 다룸으로써 미새한 레밸에서 자연의 법칙을 파악하고, 이를 통해 변화의 양상을 인간이 원하는 방향으로 설계하는데까지 나아가는 징검다리로서의 역할을 하게 된다. '미적분은 함수의 발전이며, 세계의 변화가 연속적이고 필연적인 수학적 규칙속에서 이루어지고 있다'는 세계관의 극한에서 탄생한 개념이었다. 변화를 보다 정교하게 이해하는 첫 관문은 변화의 정도 즉 속도를 계산하는 것에서 시작되었다. 이 속도 개념을 추상화하는 순간변화율, 미분의 개념에 도달한 것이다. 시간의 변화에 따라 위치s가 변하는 함수 s= f(t)라 하자. 이때 위치..
변화를 이해하는 힘, 함수 그리스인들에게 수학은 과학이라기보다 철학이었고 윤리학이었다. 플라톤이 수학을 중요시하는 이유도 추상적 사고를 할 수 있는 능력의 배양에 궁극적 관심이 있었을 뿐이었다. 유클리드의 원론 또한 수학책이라기보다 사유의 보편적 원리의 제시라는 목적으로 쓰여진 책이라고 보는 것이 합당하다. 아르키메데스가 자연현상을 수학적으로 해석하기 시작했다. 플라톤과 피타고라스 그리고 유클리드, 아르키메데스 등에 의해 시작된 수학은 갈릴레오로부터 부활되었다. 그는 '자연은 수학이라는 언어로 쓰여진 책이다'라는 말을 남겼다. 수학이 자연 질서를 이해하는 강력한 수단으로 역사의 전면에 새롭게 등장했다. 17세기 자연철학자들에게 자연은 본질을 함축한 불변의 그 무엇, 더 이상 성스러운 관조의 대상이 아닌 움직이며 변화하는 무엇이었다..
수학의 확장 함수와 미적분 함수는 긴 시간동안 이루어진 기하와 대수라는 언어를 자연의 세계에 적용함으로써, 자연의 복잡한 움직임 속에 존재하는 규칙성을 파악하려는 욕구에서 만들어진 개념이다. 변화의 규칙이라는 생각이 ‘함수’라는 개념을 태어나게 한 산파다. 변화의 규칙은 변화하는 대상들 사이에 존재하는 불변의 관계를 의미한다. 발견된 함수는 문자를 이용하여 대수식으로 표현되었으며, 이는 다시 좌표를 통해 도형, 그래프로 시각화 되었다. 이러한 성과로 함수 연구는 X와 Y라는 대상들 사이에 존재하는 규칙을 파악하는 수단에서 X, Y라는 대상들 속에 존재하는 내적구조를 파악하고 비교하는 수단으로 확장된다. 모든 질서와 구조는 모종의 함수를 가정한다. 함수의 두 가지 측면인 질서와 구조중 질서, 즉 변화의 규칙 부분이 이끌어낸 아름답고..
문자로 추론하는 힘, 대수력2 문제해결 과정에서 생각하기 어렵고 생각해낸다 하더라도 시간이 많이 걸리기 때문에 공식을 만들고 암기한다. 중요한 것은 공식의 내용을 정확히 이해한 다음에 암기해야 문제 상황에서 사용할 수 있다. 문제 상황을 문자로 추상화 하는 대수는 19세기에 와서 영국의 불(G.Boole)에 의해 수가 아닌 대상에까지 확대 적용되었다. 기호 논리학의 창시자 불은 그리스의 아리스토텔레스처럼 인간사고의 과정을 체계적으로 연구하는 사람이다. 불은 올바른 추론의 밑바닥에서 작동하는 법칙을 찾아내어 공식화하는 과정에서 수학의 문자 대수의 법칙을 적용한 사람이다. 그는 대수의 밑바닥에는 모든 문제해결에 작동하는 이항과 묶음의 원리에 주목했다. 불은 수에서 성립하는 이러한 원리를 수가 아닌 대상에도 적용할 수 있다고 생각했다.(유..
문자로 추론하는 힘, 대수력 1 1 ,2, 3 ,...이라는 수는 추상화의 산물이다. 수학의 세계는 다른 어떤 영역보다도 추상화를 향한 동기가 강하다. 이는 역사의 어느 시점부터 1 ,2, 3 ,...의 모든 수를 하나의 문자로 대신해서 표기하는 방식으로 발전했다. 또 문자를 사용함으로써 서로 다른 개별적인 상황들을 하나의 식으로 모두 담아낼 수 있게 되었으며, 특정한 관계를 만족하는 수를 구해내는 일반적인 방법을 찾아낼 수 있게 되었다. 대수라는 방법은 우선 복잡한 문장이나 관계를 간단하고 명료하게 표현할 수 있게 해준다. 예를 들면 수는 순서를 바꿔서 곱해도 그 결과는 같다는 ‘ab=ba’로 표현할 수 있다. 문자로 수를 대표(대신)한다는 의미에서 '대수'라고 불린 이 표기방식은 문제 상황과 결부되었을 때 간단 명료한 전달력 이상의..
모든 것은 정의에서 시작되었다.* 길이를 구하는 과정에서 시작된 닮음의 개념은 넓이와 부피에서도 중요한 역할을 한다. 실험에 따르면 근육의 힘은 근육의 단위 면적의 크기, 즉 근육의 겉넓이에 달려있다고 한다. 이 결과는 어떤 동물의 길이가 2배될 때 체적은 8배가 되지만, 근육의 힘은 4배가 되어 힘은 체중의 절반이 된다는 사실이다. 길이가 작은 동물일수록 체중과 근육의 힘의 격차가 작다는 말이 된다. 이것이 길이가 매우 작은 개미나 쇠똥구리가 자기 체중의 몇,배가 되는 물건을 지고 거뜬히 움질 일 수 있는 이유중 하나이다. 수학의 이러한 힘은 추론의 힘이다. 추론은 그 시작점인 정의에서 비롯된다. 모든 지식은 기본 정의에서 나온다. 그렇다면 정의는 누가 어떤 과정을 통해서 만드는 것일까? 정의는 하늘에서 떨어진 것이 아니라 인간이 필요..

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