변화를 정밀하게 다루는 힘, 미적분 2

미분이 17세기 들어와서 변화하는 현상을 이해하는 과정에서 발생한 신생 개념인 반면 적분은 고대 그리스 중국 등에서 이미 사용되었던 개념이다. 극한 이용하여 원의 넓이를 구하는 과정에서 적분의 대표적인 사례다. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이나 부피를 구하는 과정에서 발생한 소박한 차원의 적분 개념이 근대에 들어와서 미분과 연결되면서 미적분이라는 통합개념이 생긴 것이다.

 

케플러는 행성운행 연구를 하면서 타원궤도 운동을 발견하였으며 바슷한 시기에 갈릴레오는 물체의 낙하운동을 연구하면서 포물선 등을 발견하였다. 뉴턴의 만유인력의 기초에서 행성 운행을 이해하고 그 위치를 찾는 과정에서 뉴턴은 적분이라는 아이디어를 생각해 낸 것이다. 날아가는 대포알도 하늘을 운행하는 행성도 시간의 흐름을 타고 위치를 계속 바꾼다. 일정한 시간이 흘렀을 때 물체의 위치를 예측해 내는것은 실제적인 의미가 있었다.  적분은 이렇게 움직이는 물체 위치 구하기에서 출발하였다.

 

가장 간단한 운동은 속도가 일정한 등속운동이라고 말할 수 잇다. 능속운동 경우 속도가 상수이므로' v= s/t = c'이다. 이 경우 위치 's=ct' 이며 직사각형 넓이에 해당한다.  따라서 등속운동' v= c'의 경우 위치에 직사각형의 넓이라는 기하학적 의미가 부여된다. 물체의 속도가 일정하지 않고 매 순간 변화할 때 그 위치를 어떻게 구할 것인가? 매순간 속도가 변할 때 물체의 위치를 구하는 방법을 생각하던 학자들은  극한을 이용한 고대의 방법을 사용하여 직사각형을 함수의 내부에 집어넣었다. 직사각형의 개수가 많아질수록 그 넓이의 합이 곡선으로 둘러싸인 넓이로 다가간다. 만약 그 개수를 무한히 많게 하면 직사각형의 넓이의 합과 곡선 아래쪽의 넓이가 일치하게 된다. 위치를 구하는 문제는 이렇게 함수 v=f(t) 아래쪽의 넓이를 구하는 문제로 바뀌었다.

 

미분에서 살펴본 바에 의하면 움직이는 모든 물체의 속도와 위치의 관계는 다음과 같다.

위치의 미분 =속도

적분은 속도함수 v=f(t)에서 물체의 위치를 찾는 문제, 곡선의 아래쪽 널이를 구하는 문제였다. '위치=넓이'  그런데 위치의 미분이 속도다. 위치의 미분= 속도. 따라서 넓이의 미분이 속도라는 결론이다. 즉 미분해서 속도 f(t)가 되는 함수를 찾음으로써 넓이(위치)구하기, 즉 적분이 해결된다. 적분은 순간 변화률(미분한 결과)이 f(t)인 함수 찾기, 즉 미분을 거슬러가는 과정이다.

 

움직이는 과정에서 일정한 힘을 사용했을 때 '일=힘x거리'로 정의된다. 하지만 힘이 움직이면서 순간순간 변한다고해도 극한적 사고방식을 적용하면 '일=넓이'로 나타날 것이다. 전기에너지는 매 시간 사용된 전력량이 일정할 때 '전기에너지=전력량x시간'으로 정의된다. 하지만 전력량이 순간순간 달라진다고 해도 마찬가지 이유로 넓이로 나타난다. 이러한 결론은 두 수의 곱으로 정의될 수 있는 모든 수학적 대상은 넓이라는 기하학적인 양이라는생각으로 추상화될 수 있다.

 

움직이는 물체의 위치를 계산하는 문제에서 출발한 적분은 많은 수학적 대상을 함수 y=f(x)로 둘러싸인 넓이라는 기하학적 양으로 변환시켰으며, 그러한 기하학적 양이 미분의 역연산(순간 변화률이 f(x)인 함수찾기 )을 통해 구해낼 수 있음을 밝힌 것이다. 이것이 적분이다. 변화의 정도를 구하는 미분과 변화의 총량을 구해내는 적분은 서로가 서로를 보완해주고 있기 때문에 미적분학이라는 용어로 불리게 되었다.

 

모든 것은 변한다. 속도를 계산하는 소박한 문제에서 출발한 미분은 속도를 일반화한 변화룰이라는 추상개념에 도달했으며, 위치를 계산하는 문제에서 출발한 적분은 두 가지 양의 곱으로 나타나는 양을 모두 넓이로 해석해낼  수 있다는 일반적인 결론에 도달하였다. 미분을 할 수 있다면 자연과 인간사회의 변화를 모두 계산할 수 있다는 자신감을 갖게 되었다.

 

실제로 미적분 이론의 한 영역인 미분방정식을 활용하면 국소적인 변화현상을 관찰하여 얻은 결과를 가지고 일반적인 함수, 변화의 규칙을 구하는 것이 가능해진다. 예를 들어 방사선 붕괴현상과 도시의 인구 변화를 설명하는 함수가 동일한 미분방정식으로부터 구해진다는 것은 수학이 가진 추상이라는 힘의 크기를 잘 보여준다. 함수개념의 확립과 미적분 이론의 정립은 시시각각 변화하는 자연현상의 이면을 수학적으로 분석하고 이해하기 위한 새로운 수단의 개발이었다.