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수학이란 무엇인가(A. N. 화이트 헤

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기하학, 양量 quantity 기하학도 수학의 여타분야와 마찬가지로 추상적이다. 기하학에서는 사물의 모양과 상대적 위치를 연구한다.. 두 삼각형이 모든 면에서 같기 위해서 이들 삼각형 부분들 사이에 존재해야 할 최소의 관계는 무엇인가? 다음 열거된 세 경우 중 어느 하나를 충족시키면, 두 삼각형은 모든 면에서 같다. 1) 한 삼각형의 두 변과 그 사이 각이 다른 삼각형의 그것들과 각각 같다. 2) 한 삼각형의 한 변과 그 양끝의 두각이 다른 삼 각형의 그것들과 각각 같다. 3) 한 삼각형의 세변이 다른 삼각형의 그것들과 각각 같다. 기하학자들은 낱낱이 분리된 명제를 생각하는 것이 아니라, 서로 상호의존적인 여러 부분들로 된 하나의 형상을 생각한다. 대수학이 수를 다루는 한편, 기하학은 선, 각, 면적 등 기하학적 대상을 다룬다는 점만..
미분학 사고 영역 전체를 변환시키는 최종 개념을 탄생시킬수 있었던 행운을 가진 천재가 반듯이 그 동안 개념을 쌓는데 기여한 모든 선대 과학자들을 능가하지는 않는다. 오늘날과 같은 미분학이 실제로 탄생하기 전, 프랑스 탁월한 수학자 페르마는 미분학 분야가 그에 의해 창조되었다 해도 과언이 아니다. 뉴턴은 수학자 이자 물리학자였고, 라이프니츠는 수학자였는데 철학자였다. 미분학의 중요성은 이 과목의 본성 그 자체에서 유래한다. 곧 함수의 증가율에 대한 체계적 고찰이다. 이는 우리가 자연을 탐구하다가 즉각 떠올릴 수 있는 부분이기도 하다. 속도란 이동한 거리의 증가율 이요, 가속도란 속도의 증가율이다. 이런 식으로 변화에 대한 기본 개념은 자연현상 전반을 파악하는 기반으로 자리잡고 있는 개념으로서 다시 변화의 비율에 ..
급수(2) 근사의 기준에 대한 정의를 되새겨 보면 극한 개념이 의미하는 바는 근사의 기준으로 취한 실수 k가 임의의 값을 갖더라도, 급수의 어떤 Sn 이후의 모든 항들(Sn+1, Sn+2..)이 근사의 기준 이내에서 L 에 근사하는 그런 어떤 항 Sn이 발견될 수 있다면, L은 그 급수의 항들 S1,S2 .. Sn...의 극한이다. 급수의 항들을 우리가 원하는 만큼 얼마든지 정밀하게 근사시킬 수 있다. 원래의 급수 u1, u2, u3 ...un,.. 과 연관지어 돌이켜보면, 새로운 급수를 이루는 수열 S1, S2, S3... Sn.. 의 항들의 극한 이란 곧 원래 급수의 항들에 대한 무한합이라 일컬 수 있다. 무한합의 예는 십진 순환소수 0.1을 생각하면 이 수는 0.1, 0.01, 0.001... 의 무한합을 나..
급수 (1) 급수는 산술급수와 기하급수가 있다. 산술급수는 등차급수, 즉 등차수열의 항들을 더하기로 연결한 것을 뜻하며, 기하급수란 등비수열의 항들이 더하기로 연결한 것, 즉 등비급수를 뜻한다. 급수에 대한 가장 일반적인 수학적 개념이란 순차적인, 즉 일정한 순서에 따라 정렬된 대상의 집합을 의미한다. 일정한 항들의 여러 가지 순서들 가운데 어느 특정 순서가 다른 순서들보다 훨씬 더 중요하다거나, 확연해 보일 경우 통상적으로 우리는 그 어느 한 순간을, 그냥 그 '순서'라고 말한다. 따라서 정수들의 그 순서는 언제나 크기 순으로 정렬된 순서를 의미하곤 한다. 그러나 크기 순서 외에도 정수를 정렬시키는 순서의 종류는 수없이 많다. 정렬의 대상이 되는 항들의 수가 유한할 때, 그것을 순서에 따라 정렬시키는 방법의 총 수..
삼각법 삼각법은 자연의 주기성과 밀접하다. 삼각법도 원뿔곡선과 마찬가지로 고대 그리스에서 탄생했다. 삼각법을 최초로 창안한 사람은 그리스 천문학자인 히파르쿠스다. 삼각법은 실용성에 기반을 두고 있다. 처음부터 천체를 탐구하기 위해 고안되었다. 한편 원뿔곡선은 순수하게 추상적인 관점에서 시작되었다. 처음부터 그에 대한 연구의 유일한 이유는 관련 개념에 대한 추상적 관심 때문이었다. 천문학자는 어떤 값을 측정하는가? 그들이 측정하는 것은 다름 아닌 시간과 각도의 크기이다. 망원경은 동서 방향, 수평축의 둘레를 회전할 수 있는 기구로서 항성이 정남 또는 정북에 있는 시점을 정확하게 탐측하기 위한 것이다. 그러나 이 기구는 각도를 간접적으로 측정하게 해준다. 왜냐하면 두 별이 차례로 통과한 시간 간격이 알려지면, 그로..
자연의 주기성 자연생태계는 주기적으로 일어나는 일련의 사건들에 의해서, 즉 아예 동일한 사건의 반복이라 말해도 무리 없을 만큼 너무나 흡사한 사건들이 존재하기에 질서있게 보인다. 지구의 자전은 끊임없이 이어지는 나날들을 만들어낸다. 태양의 주위를 도는 지구의 공전궤도 또한 해마다 이어지는 계절의 반복을 만들어내며, 자연계에 또 다른 중요한 주기성을 부여한다. 근대이후 문명화된 세계 에서는 조명기술의 발달로 인해 달의 위상이 지닌 중요성이 많이 희석되었으나, 고대에는 사람들이 달빛에 많이 의지하고 살았다. 따라서 달의 위상에 따르는 독자적 책력체계가 거의 모든 국가에서 발견되었다. 우리 신체생리 현상도 주기성을 띤다. 그것은 반복되는 심장박동과 호흡에 의해 관장된다. 또한 일상생활의 여러 면에서도 주기성은 기본적인 전제..
함수 함수라는 용어는 이미 일반적인 수학의 영역에서 널리 사용된다. 예컨대 ‘사람의 기질은 섭생의 함수이다’ 라는 표현은 함수라는 용어가 가진 수학적 의미를 정확히 사용했다고 볼 수 있다. 어떤 사람의 섭생양태와 기질의 특성들 중 어느 하나를 알면 나머지 하나도 알려주는 관계의 규칙이 정해질 수 있다는 것이다. 만일 기차가 시간당 20마일 속력으로 이동한다면 임의의 몇시간 후에 이동한 거리는 S= 20x t이다. 따라서 S는 t의 함수라 할 수 있다. 일반적인 경우를 보자면 우리는 수학에서 함수를 각각 변수와 함수 값으로 불리는 가변적 수들간의 상호관계로 정의한다. 이때 함수의 변수가 무엇이든 상관없이 함수의 값은 확정적으로 결정된다. 그러나 그 역은 언제나 참이 아니다. 즉 함수의 값이 정해지더라도 그에 대..
원뿔곡선 고대의 기하학들이 직선과 원으로 구성된 도형을 철저히 탐구한 시점에서 그들은 연구 대상을 다른 형태의 곡선들로 옮겼다. 그들은 너무나도 당연히 원뿔곡선, 즉 원뿔을 자른 단면에 나타나는 경계곡선에 주목하였다. 학문에는 여러 개의 왕도가 있다. 그러나 그 길을 처음 밟는 사람은 왕이 아니라, 끈질긴 노력을 아끼지 않는 천재다. 꼭지점이 V이고 원형기반이 STU인 원뿔을 생각하자. 전등 빛에 의한 원추형 음영은 이같은 표면의 좋은 예이다. 한 꼭지점 V를 중심으로 서로 마주보는 이중 원추형이다. 그리고 PQR은 원형 STU의 V에 대한 대칭원형 절단면이다. 원뿔을 자르면 달걀 모양 폐곡선이 생긴다. 이 같은 곡선을 타원이라 한다. 원뿔을 자르는 절단 평면은 원뿔과 접하는 기울기의 평면과 일치하는 경우가 있다..

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