문자로 추론하는 힘, 대수력2

문제해결 과정에서 생각하기 어렵고 생각해낸다 하더라도 시간이 많이 걸리기 때문에 공식을 만들고 암기한다. 중요한 것은 공식의 내용을 정확히 이해한 다음에 암기해야 문제 상황에서 사용할 수 있다.

 

문제 상황을 문자로 추상화 하는 대수는 19세기에 와서 영국의 불(G.Boole)에 의해 수가 아닌 대상에까지 확대 적용되었다. 기호 논리학의 창시자 불은 그리스의 아리스토텔레스처럼 인간사고의 과정을 체계적으로 연구하는 사람이다. 불은 올바른 추론의 밑바닥에서 작동하는 법칙을 찾아내어 공식화하는 과정에서 수학의 문자 대수의 법칙을 적용한 사람이다. 그는 대수의 밑바닥에는 모든 문제해결에 작동하는 이항과 묶음의 원리에 주목했다.

 

불은 수에서 성립하는 이러한 원리를 수가 아닌 대상에도 적용할 수 있다고 생각했다.(유추의 사고) 여기서 문제가 되는 것은 합과 곱이다. 합과 곱이란 수들끼리에서만 의미를 지니기 때문이다. 수가 아닌 대상의 합과 곱을 말하기 위해서는 합과 곱에 대한 새로운 해석ㅁ(정의)가 필요했다. 이를 위해 불은 우선 0과 1을 각각 성립하지 않는 거짓과 성립하는 참에 대응시켰다.  여기에 기초하여 합 x+y를  x또는 y에 해당되는 대상에, 곱 xy를 x와 y에 공통적으로 해당되는 대상에 대응시켰다. 문장의 세계에서 합과 곱을 새로이 정의한 것이 다. 여기서 문자 x , y는 모든 것을 그 대상으로 포함할 수 있다.

 

0: 거짓, 1: 참

x+y : x 또는 y

xy : x 그리고 y

 

명제 곱은 동물 또는 식물이다의 진리값은 1+0=1 즉, 참이 된다. 반면 곱은 식물이면서 동물이다의 진리값은 0x1=0 거짓이 된다.  계산 결과와 추론 결과가 일치하는 것이다.  명제들 끼리의 관계를 대수적으로 계산함으로써, 그 결과의 참, 거짓을 판정하고, 이를 바탕으로 의미있는 명제를 추론해내기 위한 목적으로 만들어진 것이다.

 

불 대수에서 ‘X의 부정은 어떻게 나타낼 수 있을까?’ x가 참이면 그 부정은 거짓이고, 반대로 x가 거짓이면 그 부정은 참이므로 진리값이 1만큼 차이가 난다. 즉 x와 x가 부정인 진리값을 더했을 때 항상 1이 된다. 따라서 1-x로 x의 부정을 정의한다면, 논리적 의미와 수치적 계산이 정확히 합치된다. (x+(1-x)=1)이 된다. 

 

이를 바탕으로 문장의 기본 형태인 주어-술어 구조인 ‘a는 b다’의 형태를 합과 곱으로 번역할 수 있다. 'a는 b다' 의미는 모든 a는 항상 b라는 의미다. 'a는b다'라는 부정을 이용하여 'a이면서 동시에 b가 아닐 수는 없다'로 모양을 변형시킴으로써 a x (1-b)=0으로 번역할 수 있다. 같은 이유에서 'a는 b가 아니다'는 등식 a x b=0으로 번역된다.

a는b다 => a이면서 b가 아닐 수는 없다. => a x (1-b)=0

a는 b가 아니다. => a이면서 b일수는 없다. => axb=0

 

기계는 인간의 명령을 0또는 1로 표현되는 디지털 신호로 받아들이는데 이러한 명령이 모순없이 논리적으로 수로 변역되어 결론을 추론(계산)해낼 수 있는 시스템을 불 대수가 가능하게 만들었다. 구체적으로 컴퓨터의 전자회로 설계 등에 사용된다. 문자를 통해서 문제상황을 정리하고 (번역), 이를 연역함으로써 답을 유도해 내는 (변형 ), 대수의 강력한 방법을 논리적추론의 과정에 적용하여 합과 곱을 새롭게 정의하고 0과 1이라는 두가지 수만으로 명제들의 연역의 과정을 계산과정으로 환원한 불 대수는 추상화를 지향하는 수학적 사고의 본질과 그 강력한 힘을 잘 보여주는 사례라고 말할 수 있다.

 

수가 먼저 있고 나서 그것들을 서로 곱하고 더하는 즉 연산을 실행하는 것이 아니라, 그 반대로 연산을 실행할 수 있는 대상이면 그것이 무엇이건 수로 불릴 수 있다는 것이다. 같음을 새롭게 정의함으로써 우주의 생김새를 보려 한 기하학과 합과 곱을 새롭게 정의함으로써 인간의 사고 과정을 보려한 대수학은 수학이 외적 환경을 탐구하는 자연과학과 인간의 내면을 탐구하는 인문과학의 모습을 모두 가진 통합적 인간학임을 보여준다.

 

이제부터 살펴볼 함수와 미적분은 도형과 수라는 언어가 하나로 통합되는 세계다. 함수와 함수의 발전인 미적분을 통해 인간은 환경을 본젹적으로 이해할 수 있게 된다.