수학의 확장 함수와 미적분

 

함수는 긴 시간동안 이루어진 기하와 대수라는 언어를 자연의 세계에 적용함으로써, 자연의 복잡한 움직임 속에 존재하는 규칙성을 파악하려는 욕구에서 만들어진 개념이다. 변화의 규칙이라는 생각이 ‘함수’라는 개념을 태어나게 한 산파다. 변화의 규칙은 변화하는 대상들 사이에 존재하는 불변의 관계를 의미한다.

 

발견된 함수는 문자를 이용하여 대수식으로 표현되었으며, 이는 다시 좌표를 통해 도형, 그래프로 시각화 되었다. 이러한 성과로 함수 연구는 X와 Y라는 대상들 사이에 존재하는 규칙을 파악하는 수단에서 X, Y라는 대상들 속에 존재하는 내적구조를 파악하고 비교하는 수단으로 확장된다. 모든 질서와 구조는 모종의 함수를 가정한다.

 

함수의 두 가지 측면인 질서와 구조중 질서, 즉 변화의 규칙 부분이 이끌어낸 아름답고도 강력한 결실이 미분과 적분이다. 미분과 적분은 모두 변화와 관련되어 있다. 17세기 후반 수학자들은 미시적 레벨에서의 함수의 변화 정도, 즉 얼마나 빨리 변해 가는지를 찾아내고 섬세한 규칙을 정의해 냈다. 이것을 ‘미분’이라 한다.  인간은 함수를 미분함으로써 대상의 변화 정도를 알 수 있게 되었으며, 이는 세밀한 차원에서의 미래 예측과 그에 따른 대비로 이어질 수 있다. 적분은 함수의 변화 총량, 즉 얼마나 많이 변했는지를 계산해내는 과정에서 정의된 규칙이다. 적분을 명확히 정의하는 과정에서 미분과의 은밀하면서도 깊은 관련성이 발견되었다.

 

자연현상이든 사회현상이든 변화가 없는 곳은 없다. 그런데 미적분은 변화가 있는 곳에서 대상이 어떻게 변해 가는지, 그리고 얼마나 변했는지를 알려준다. 요컨대 함수와 미적분이라는 개념을 통해 인간은 자연과 사회 현상 세계를 명확히 대상화한 후 그 흐름을 파악할 수 있게 되었다.