미분학

사고 영역 전체를 변환시키는 최종 개념을 탄생시킬수 있었던 행운을 가진 천재가 반듯이 그 동안 개념을 쌓는데 기여한 모든 선대 과학자들을 능가하지는 않는다.  오늘날과 같은 미분학이 실제로 탄생하기 전, 프랑스 탁월한 수학자 페르마는 미분학 분야가 그에 의해 창조되었다 해도 과언이 아니다. 뉴턴은 수학자 이자 물리학자였고, 라이프니츠는 수학자였는데 철학자였다. 미분학의 중요성은 이 과목의 본성 그 자체에서 유래한다. 곧 함수의 증가율에 대한 체계적 고찰이다. 이는 우리가 자연을 탐구하다가 즉각 떠올릴 수 있는 부분이기도 하다.  속도란 이동한 거리의 증가율 이요, 가속도란 속도의 증가율이다. 이런 식으로 변화에 대한 기본 개념은 자연현상 전반을 파악하는 기반으로 자리잡고 있는 개념으로서 다시 변화의 비율에 관한 물음까지 즉각 제기하게 한다. 빨리, 천천히 등과 같이 친숙한 용어들도 사실 암암리에 변화율에 대한 개념을 수용함으로써, 그 의미를 제대로 부여 받는다.  따라서 미분학은 수학의 자연현상을 설명하는데 꼭 필요한 학문임을 잘보여주는 핵심과목이다.

 

기차가 달리고 있다.  우리는 과연 특정 시점(정오) 에서의 기차속도를 어떻게 결정할 것인가?  정오를 포함한 5분의 시간구간을 취하고, 그 시간동안 기차가 이동한 거리를 구한다. 하지만 실제로 정확하게 동일한 속도로 달리고 있었는지 확신할 수 없다.  정오를 포함하는 시간 구간을 짧게 잡을수록 그리고 그렇게 더욱 짧아진 시간동안 이동한 거리를 잴수록 정오시점의 속도를 더 정확히 추정할 수 있다. 우리는 이상적인 정확도를 끌어네기 위해 무한히 작은 간격이 요구된다고 말하고 싶은 충동을 느낄 것이다. 

 

변수 x의 임의의 값에 대한 함수 x의 증가율을 구한다고 해보자.  변수 x가 x+h로 증가하면, 함수 x 제곱은 (x+h)제곱으로 증가한다.  따라서 변수의 증분 h에 대한 함수의 증분은 ( x+h )제곱 - h제곱이 된다.  따라서 x에서 x+ h까지의 구간중에 나타나는 '변수의 단위 증분당 함수의 평균 증분'은 (x+h) 제곱 - x 제곱/ h 이 된다.  그런데 (x+h)제곱= x 제곱 +2xh +h 제곱 이므로,  (x+h)제곱 - x제곱/ h = 2x h제곱 + h제곱/h =2x+ h가 된다. 2x+h가 바로 변수의 단위 증분당 함수 x의 평균 증분이며,  그 평균의 의미는 변수 x에서 x+h까지의 구간에 걸쳐 유효하다. 그런데 이 2x+h라는값은 구간 크기인 h에 영향을 받는다. 따라서 h가 한없이 줄어드는 극한에서, 변수값 x에서의 증가율은 2x라고 말하게 된다.  여기서 'h가 한없이 줄어드는 극한에서' 라는 구절이 사용되기 때문에 우리는 다시 무한소량 개념을 떠올리지 않을 수 없다.

 

h가 0이라면, 평균 증분이 산정되어야 할 x에서 x+h까지의 구간이 아예 0이라는 의미가 된다. 문제는 평균 증분을 산정하게 되는 길이 h의 구간이 0이 되지 않도록 유지하면서 동시에, 그 h를 마치 0과 마찬가지로 취급하는 방안을 찾는 것이다. 변수가 a일때 함수 f(h)의 값은 당ㅇ녀히 f(a)이다.  그러나 그 극한은 개념상 함수값과 구별되며 때로는 양자가 서로 다를 수도 있고 또 경우에 따라서는 함수값이 정의되지 않더라도 극한값은 존재할 수 있다.

 

극한의 정의는 다음과 같다.

- ‘ a의 근방에서의 함수값이 모든 근사의 기준 이내에서 k에 근사해 있을 때 함수 f(x)는 x=a에서 극한    값을 갖는다.’

- ‘a의 근방에서의 함수값이 모든 근사의 기준 이내에서 a에서의 함수값에 근사해 있을 때 함수 f(x)는   x=a에서 연속이다.’

 

두 정의를 정리해 보면 1) x=a에서 f(x)가 극한을 갖고,  2) 그 극한값이 x=a에서의 함수값 즉 f(a)일 때 그 함수 f(x)가 x=a에서 연속임은 명백한 사실이다. 지금까지 우리가 함수의 증가율이라 불렀던 것을 대신해 더 추상적인 용어인 '미분계수'나 '도함수'라는 용어도 보편적으로 사용하고 있다.  수학에서 근본적으로 중요한 개념은 바로 어떤 것some things과 임의의 것any things이다.