급수(2)

근사의 기준에 대한 정의를 되새겨 보면 극한 개념이 의미하는 바는 근사의 기준으로 취한 실수 k가 임의의 값을 갖더라도, 급수의 어떤 Sn 이후의 모든 항들(Sn+1, Sn+2..)이 근사의 기준 이내에서 L 에 근사하는 그런 어떤 항 Sn이 발견될 수 있다면, L은 그 급수의 항들 S1,S2 .. Sn...의 극한이다. 급수의 항들을 우리가 원하는 만큼 얼마든지 정밀하게 근사시킬 수 있다. 원래의 급수 u1, u2, u3 ...un,..

과 연관지어 돌이켜보면, 새로운 급수를 이루는 수열 S1, S2, S3... Sn.. 의 항들의 극한 이란 곧 원래 급수의 항들에 대한 무한합이라 일컬 수 있다. 무한합의 예는 십진 순환소수 0.1을 생각하면 이 수는 0.1, 0.01, 0.001... 의 무한합을 나타내는 한가지 방식일 따름이다.  무한합을 갖는 급수를 수렴한다고 하고 무한합을 갖지 못하는 급수는 발산한다고 한다. 

 

발산하는 급수의 가장 쉬운 예는 항들이 1,2,3..과 같이 크기 순으로 정수가 이어지는 급수이다.  급수가 발산하는 또 다른 유형의 예로 항들이 1,1,1...인 경우를 들수 있다. 이 합은 한없이 커진다. 급수가 발산하는 또 다른 유형의 예로 항들이 1,-1,1,-1...과 같이 1과 -1이 번갈아 가며 항을 구성하는 급수가 있다. 등비수열의 제 n항 까지의 합은 다음과 같다. Sn=1+2승+x3승+x+...+x n승그 양변에 x를 곱하면, xSn=x +x 2승+x3승+...x n+1승이 된다.  따라서 Sn(1-x)=Sn-xSn=1-x n+1승이고, 이때 x가 1이 아니라면 Sn=1-x n+1승/1-x = 1/1-x - x n+1승/1-x이 된다. 여기서 만일 x가 1보다 작다면, n을 충분히 큰 값을 취함으로써 x n+1승/1-x은 항상 임의의 실수 k보다 작아진다. 그러므로 x가 1보다 작을 경우 수열 1,x, x2승 ,x3승....x n승...의 항들의 합, 즉 급수의 값을 수렴하고, 1/1-x이 그 극한이 된다. 다음과 같이 기호화 할 수 있다.

 

 1/1-x =1+ x+ x2승 +....x n승+...  (-1<x<1) 그러나 만일 x가 1보다 크거나 같다면 급수는 발산한다. 달리 말하면 만일 x가 -1과 1사이에 있을 때 급수가 수렴하고, x가 -1과 1을 포함한 바깥구간에 있을 때 발산한다.

 

항들을 함수꼴로 나타낸 급수 f1(x)+  f2(x) +.... fn(x)+.... 가 구간 a와 b 내부에 있는 모든 x에 대하여 즉 a보다 크고 b보다 적은 모든 x에 대하여 수렴한다고 생각하자.  또한 그 극한, 즉 수렴하는 값에 근사시킴에 있어 충분한 항들을 더하면 어떤 근사의 기준 k 이내에 온다는 것을 확인하고자 한다고 하자. 그렇다면 과연 우리는 n개 또는 그 이상의 항들의 합을 취하면, x가 구간 이내의 값중 어떤 값을 갖더라도 원하는 대로 근사의 기준을 충족시키는 그런 항의 수를 (즉 n을)항상 명시할 수 있는가? k의 값 각각에 대하여 어떤 경우에는 그 명시가 가능하고, 또 어떤 경우에는 불가능하다. 그것이 가능할 때 그 급수는 제시된 구간 전체에 걸쳐 일양수렴 uniformly convergent한다고 하고, 그것이 불가능할 때 그 급수는 제시된 구간 전체에 걸쳐 일양수렴을 못한다. 즉 비일양수렴 non-uniformly convergent한다고 한다. 기하급수가 1+x+x 2승+... +x n승+...인경우에는 그 수렴구간에서 극한 값이 1/1-x라는 간명한 대수식으로 유도될 수 있다. 그러나 항시 그렇지는 않다. 우리는 단지 특정값이 어떤 급수의 극한 값이라는 사실 말고는 그 극한 값에 관해 아무것도 알지 못함에도 불구하고, 그 급수가 특정 구간 안에서 수렴한다는 사실을 증명할 수 있는 경우가 종종 있다.