본문 바로가기

수학이란 무엇인가(A. N. 화이트 헤

 (17)
허수 허수虛數에 대해 실용지향적인 사람뿐만 아니라, 철학자들까지도 명칭 자체부터 허구임을 명시하는 신비스러운 실체에 대한 수학자들의 몰입에 당혹감을 표명했던 것이다. 과연 통약불가능수도 제대로 수라고 할 수 있는가? 양수와 음수는 진정한 수인가? 말 그대로 허구의 수인가? 과학에서 기술적 용어는 마치 영아에게 붙여지는 세례명처럼 임의롭게 부과된 명칭이라는 사실을 분명히 이해할 필요가 있다. 명칭 자체를 놓고, 옳고 그름을 따질 수 없다. 이들 명칭보다 잘 기억 되도록, 혹은 적절하고 중요한 개념을 잘 시사하도록 정리할 필요도 있다. 적확한 단어를 구사하기 위해서 ‘내가 원하는 대로 의미를 만들어 임의의 단어에 따로 부과하면 된다. 허수 개념의 기원은 여러 측면에서 양수, 음수 개념의 경우와 흡사하다. 특히 세..
수의 일반화 수학의 뛰어난 특성중 하나는 우리가 출발점으로 삼았던 정수들과 연관된 일련의 개념들이다. 이 개념은 이른바 수의 확장 혹은 일반화로 불리기도 한다. 분수개념은 수학사에서 매우 이른 시기에 발달한 것으로 볼 수 있다. 경작지를 똑같은 크기의 세조각으로 나누어 그 중 두조각만 소유하는 경우는 오랜 옛날부터 행해졌던 계산임이 분명하다. 이 분야에 대한 그리스 인들의 사고방식은 비ratio의 형태를 더욱 선호한 것으로 보인다. 비율에 관한 이론과 연관하여 그리스인들은 대단한 발견을 했는데, 그것은 수학으로뿐만 아니라 철학으로도 상당히 비중이 높은 발견이다. 그들은 통약불가능한 비율의 존재를 알아낸 것이다. 어떤 길이를 갖는 선분에 대해서도 그 길이에 정수쌍의 비로 맞아 떨어지지 않는 길이의 선분, 다시 말해 기..
수학의 기호체계 당분간 우리가 0,1, 2... 9, 10, 11, ... 100, 101..... 등등 아라비아 기수법으로 표시된 정수에 대한 명확한 개념을 충분히 갖고 있다고 가정하자. 이런 수 표기방식은 아랍을 통해서 유럽으로 소개되지만, 아랍인들은 인도 사람들로부터 자료를 얻었던 것이 분명하다. 아라비아 기수법이 체계적으로 설명된 최초의 출전은 '바스카라'라는 인도수학자까지 거슬러 올라갈 수 있으며, 아마도 티베트지역에서 최초로 고안해 낸 것 같다. 바람직한 표기가 두 뇌의 불필요한 활동을 절약함으로써 우리는 보다 자유롭게 한층 고급스러운 문제에 집중할 수 있게 되었으며, 실제로 인류 전체의 정신적 사고능력이 함양, 증대 되는 성과를 누렸다. 기수법이 십진분수decimal fraction로 이어지는 중대한 확장은..
동역학(2) 운동과 변화 현상에는 이들 기하학적 인자의 측정치와 변화 비율의 측정치 간에 본래 존재하는 상관관계, 즉 변수들의 수치들 간의 상관관계를 다루게 된다. 한편 수학법칙은 언제나 변수를 다루고 있으며 이 변수에 특정한 값을 대입하는 것은 실험결과를 수학법칙을 통해 조회하는 과정에서 특정 경우를 검증하거나, 특별한 예측을 위해 사용하는 차원에 머물뿐이다. 수리물리학 탐구를 통한 추상적 방식, 즉 사물의 위치와 모양만 변화와 결부시키는 방식으로 보는 세계관에서 흥미로운 점은 그토록 추상적인 세계의 사건들이 우리의 감각현상을 설명하기에도 충분하다는 사실이다. 공기 파동이 없다면 아무런 소리도 없다. 마찬가지로 다른 감각작용의 경우에도 각각 그 베후에는 물리적 원인 또는 진원이 존재한다. 물리적 세계의 사건들은 특..
동역학(1) 자연철학자 갈릴레오가 피사 사원의 기울어진 탑 위에서 물체를 떨어뜨린 행동은 당시의 시대적 특징을 단적으로 보여주는 서건이었다. 탑 위에서 질량체를 자유낙하 실험시킨 실험이 밝히고자 한 것은 무게가 다른 물체들은 같은 높이에서 동시에 자유낙하시킬 경우, 동시에 떨어지는지를 확인하는 것이었다. 아리스토텔레스의 원칙에 의하면 무거운 물체가 더 빨리 떨어진다고 했다. 그러나 갈릴레오는 동시에 떨어질 것이라고 확신했고, 기울어진 탐의 꼭대기에서 여러 무게의 물체를 직접 자유낙하시켜 이를 입증했다. 이 법칙에 대한 겉보기의 예외는 낙하물체가 지극히 가볍거나 낙하속도가 아주 빨리 공기의 저항이 만만치 않을 경우에 발생한다. 그러나 공기 저항을 무시하면 갈릴레오 법칙은 옳다. 이 실험은 갈릴레오가 관성과 질량의 연관..
수학의 적용체계(2) 전류는 두 이탈리아인 1780년 갈바니, 1792년 볼타에 의해 발견 되었다. 마찰전기에 의한 정전기 분야, 전기적 현상에 관한 분야, 흐르는 전기(전류)에 관한 분야가 그것이다. 바야흐로 전자기학에 수학적 개념이 출현하기에 이르렀다. 프랑스인 쿨롱은 자극들이 서로 떨어진 거리의 제곱에 반비례 하는 크기의 인력 또는 척력을 미친다는 사실을 밝혀냈다. 전하의 경우도 만유인력법칙과 유사하다. 1820년 덴마크 에르스테드가 전류가 흐르면 자성체에 힘을 미친다는 사실을 발견했고, 프랑스인 암페어가 수학적 법칙을 정학한 공식으로 정리했다. 아울러 암페어는 두가지의 전류가 서로 힘을 미친다는 사실을 입증했다. 암페어의 연구는 '전자기학의 뉴턴'의 두뇌에서 더욱 성숙되고 견고한 수준 으로 도약한 결과로 평가받는다. ..
수학의 적용체계(1) 수학의 적용을 꾀하다보면 자연이 일련의 관계를 충족시키는 변수개념이 발생하는데, 그 경위와 성격에 관해서는 좀 더 숙고해볼 필요가 있다. 어떤 건물을 지을 때 세 제곱피트당 1실링이 든다고 하자. 그 말은 그 건물의 용적과 비용 간의 상관관계만큼은 일종의 법칙으로서 굳건히 성립한다는 뜻을 함축한다. 즉 x가 세 제곱피터의 수이고, y가 파운드(20실링이 1파운드) 수라면 20y=x이다. 여기서 두 변수 x와y 사이의 상관관계는 건축주가 누구이든 건물의 용도가 무엇이건 상관없이 무조건 성립하는 것이라 상정된 셈이다. 또한 건물의 용적과 비용 자체도 특정한 사람의 특정한 감각이나 능력에 따라 파악되는 것이 아니다. 건물 신축이란 대단히 복잡한 일련의 다단계공정이다. 따라서 공정의 전반적인 과정 중에서도 두드..
변수 임의 any와 어떤 some에 대한 개념은 산술에 있어서 구체적인 숫자 대신 문자를 사용함으로써 대수학이 도입된다. 따라서 2+3= 3+2라고 말하는 대신, 대수학에서는 ‘x, y가 임의의 두 수를 나타낸다면 x+y=y+x라고 일반화하여 표현한다. 다시 예를 들면 ’3>2‘라고 말하는 대신 ’x가 임의의 수라고 할 때, y.>x인 어떤 수 y가 존재한다‘라고 일반화하여 표현한다. 종래의 문자 기수법은 아라비아 기수법이 도입되면서 수학에서 완전히 폐기 되었다. 대수학의 발현 이후 뉴턴과 라이프니츠에 의해 미적분학이 창안 되었고, 그 후 임의와 어떤의 개념에 관한 한 수리철학의 발전이 정체되는 사태가 발생했으나, 20세기에 들어 임의와 어떤 이 수학의 본질에 얼마나 중요한 개념인지를 깨닫게 되었다. 임의와 ..

티스토리툴바