수학의 뛰어난 특성중 하나는 우리가 출발점으로 삼았던 정수들과 연관된 일련의 개념들이다. 이 개념은 이른바 수의 확장 혹은 일반화로 불리기도 한다. 분수개념은 수학사에서 매우 이른 시기에 발달한 것으로 볼 수 있다. 경작지를 똑같은 크기의 세조각으로 나누어 그 중 두조각만 소유하는 경우는 오랜 옛날부터 행해졌던 계산임이 분명하다. 이 분야에 대한 그리스 인들의 사고방식은 비ratio의 형태를 더욱 선호한 것으로 보인다. 비율에 관한 이론과 연관하여 그리스인들은 대단한 발견을 했는데, 그것은 수학으로뿐만 아니라 철학으로도 상당히 비중이 높은 발견이다. 그들은 통약불가능한 비율의 존재를 알아낸 것이다.
어떤 길이를 갖는 선분에 대해서도 그 길이에 정수쌍의 비로 맞아 떨어지지 않는 길이의 선분, 다시 말해 기준이 되는 길이의 선분에 대하여 정확하게 분수꼴로 맞아 떨어지지 않는 길이의 선분이 반드시 존재한다는 것이다. 정사각형 한 변에 대한 대각선의 비는 그 어떤 분수로도 나타낼 수 없다. 현대 표기법을 차용한다면 대각선은 한 변의 루트2배 길이다. 그러나 이를 정확하게 나타내는 분수는 없다. 그리스 사람들은 이런 비율(예:루트2 )을 '통약불가능하다'고 표현했다. 이제부터는 통약불가능한 비율을 분수와 더불어 놓고서 정수, 분수, 통약불가능수 전체 집합이 앞으로 실수라고 불리게 될 일련의 수 집합을 구성한다고 상정해 보자, 사람들은 실수란 영에서부터 시작하고 증대되어 얼마든지 한없이 커지게 되는 크기의 순서에 따라 배열된 것으로 생각해 왔다.
O에서 시작하여 X방향을 향해 꾸준히 움직일 때 OX를 따라 만나게 되는 점들의 나열은 0에서 시작하여 연속적으로 증가하여 얼마든지 커져, 크기의 순서에 따라 배열된 실수들을 나타낸다. 임의의 두 분수 사이에는 그 둘의 중간값을 갖는 분수가 언제나 발견될 수 있다. 예컨대 2/3와 3/4 사이에는 1/2(2/3+3/4), 즉 17/24이라는 분수가 존재하고, 다시 2/3와 17/24사이 에는 1/2사이에는1/2(2/3+17/24), 즉 33/48이라는 분수가 존재하고, 다시 이와 같은 방식이 무한히 계속 이어진다. 이러한 특성 때문에 이와 같은 유의 배열은 조밀하다고 표현된다. 이런 배열에는 종점이 없으며, 직선 OX을 따라 한없이 무한대로 증가한다. 분수의 수열에는 루트2로 메워야 할 틈이 존재한다. 분수의 수열에서 틈이 존재한다는 사실은 사소한 사안처럼 보일런지 모른다. 심상치 않은 결함
이다.
수학자들이 추구하는 것은 보편성이라는 사실이다. 보편성이란 수학의 발전에 있어 변수와 형식과 동등한 대열에 올릴 만한 가치가 있다. 수학적 정리,증명, 해석 등이 보이는 보편성을 제약하는 그것이 무엇이건 간에 수학의 본분에 배치된다. 변수, 형식, 보편성이라는 이들 세 개념은 수학과목 전체를 삼분하는 수학의 삼위일체를 구성한다. 이 시점에서 우리의 대수적형식에 대한 개념은 오직 일반화 과정 자체에만 관여하게 된다. 그러므로 우리는 x+1=3과 동일한 형식의 일반적인 방정식을 생각하게 된다. 이 방정식은 x+a=b이며, 그 해는 x= b-a이다.
기호 +와 -를 처음 사용한 사람은 실용 지향적인 어떤 인물이었다고 확신한다. 확실하지는 않지만 최초의 +, - 기호사용은 독일의 물품 창고에서 보관물품의 기준 중량과 비교된 실제 중량의 초과 또는 미달 여부를 표시 했다는 가장 유력하다. 이 기호가 최초로 수학에 채택 된 것은 1544년 뉘른베르크에서 발간된 어떤 책에서 독일의 수학자 슈티펠이 사용하면서 부터이다. 양수와 음수의 응용 가능성은 너무나 명백하다. 어느 한쪽이 양수로 표현된다면, 그 반대 방향은 음수로 표현된다. 어느 한 방향으로의 속도가 양이라면, 그 반대 방향으로의 속도는 음이다. 시계방향으로의 회전이 양이라면, 시계 반대 방향으로의 회전은 음이다.