변수

임의 any와 어떤 some에 대한 개념은 산술에 있어서 구체적인 숫자 대신 문자를 사용함으로써 대수학이 도입된다.  따라서 2+3= 3+2라고 말하는 대신, 대수학에서는 ‘x, y가 임의의 두 수를 나타낸다면 x+y=y+x라고 일반화하여 표현한다. 다시 예를 들면 ’3>2‘라고 말하는 대신 ’x가 임의의 수라고 할 때,  y.>x인 어떤 수 y가 존재한다‘라고 일반화하여 표현한다. 종래의 문자 기수법은 아라비아 기수법이 도입되면서 수학에서 완전히 폐기 되었다. 대수학의 발현 이후 뉴턴과 라이프니츠에 의해 미적분학이 창안 되었고,  그 후 임의와 어떤의 개념에 관한 한 수리철학의 발전이 정체되는 사태가 발생했으나,  20세기에 들어 임의와 어떤 이 수학의 본질에 얼마나 중요한

개념인지를 깨닫게 되었다.

 

임의와 어떤 이라는 근본 개념을 이해하기 위해 몇 개의 간단한 대수적 진술문을 만들어 보자.

1. 임의의 수 x에 대하여 x+2=2+x이다.

2. 어떤 수 x에 대하여 x+2=3이다.

3.어떤 수 x에 대하여 x+2>3이다.

 

우리가 첫 번째로 주목할 사항은 위에서 사용된 어떤 안에 담긴 가능성이다. x+2=2+x는 임의의 수 x에 대하여 성립하기 때문에 어떤 수 x에 대해서도 참이다.  따라서 위에서 사용된 바와 같이 임의는 어떤을 포함하며, 어떤은 임의를 배제하지 않는다. 다시 두 번째 예문을 보면 x+2=3을 만족하는 수 x는 실제로 오직 1이라는 수 하나 밖에 없다. 따라서 어떤 수는 오직 하나의 수일 수있다. 한편 세번째 예문에서는 1보다 큰 모든 수 x가 x+2>3을 만족한다. 따라서 세 번째 예문을 만족하는 어떤 수는 무한히 많다. 결국 어떤은 임의와 유일의 겅계를 오갈 수 있는 수가 된다. 2, 3을 다음과 같이 대체해도 무방하다.

2‘) x+2=3을 만족하는 수 x는 무엇인가?

3‘) x+2>3을 만족하는 수 x는 무엇인가?

 

수학에서 방정식은 대단히 중요하며, 방정식 꼴로 변현된 2‘가 원래 진술문 2보다 훨씬 더 명확하게 보이기도 한다. 그러나 이는 전적으로 잘못된 판단이다. 어떤과 임의를 사용하는 과정에서 일어나는 결정되지 않은 변수의 개념이야말로 수학에서 진정으로 중요한 것이기 때문이다. 흥미로운 수식들 대부분은 특히 어떤의 개념이 들어있는 경우에는, 한 개보다 많은 변수를 포함한다. 예컨대 x+y=1을 만족하는 수 x,y의 쌍들을 생각할 때, 그속에 이미 x와 y라는 2개의 상관변수 개념이 내포되어 있다. x와 y를 양이건 음이건 정수로 제한하고, 숫자에 의해 만족되는 ‘y=x'의 관계들을 취한다고 하자. 그렇다면 y에 어떤 정수값이 주어지건 간에 주어진 관계에 상응하는 x의 유일한 정수값을 떠올릴 수 있다.  x의 장은 1, 2,3 등등의 정수 집합 즉 1, 4, 9 등의 수집합으로 제한된다.  수 쌍들 간의 관계에 대한 일반적 연구는 다음과 같은 도표를 이용함으로써 한결 수월해진다.

 

두 변수 간 관계를 물리적 예시로, 같은 온도에서 일정 질량을 가진 기체를 압력과 부피 간의 관계를 통해 살펴볼 수 있다.  V를 특정 단위체계에 따른 부피의 크기로 P를 특정 단위체계에 따른 면적당 무게(압력)의 크기로 설정하자. 보일의 법칙이라 알려진 '일정 온도를 유지할 때 P와 V의 곱은 일정하다'라는 P와 V간의 관계를 살펴볼 수 있다. 배우는 과정에서 우리는 기체의 속성과 상태 변화의 경로를 조망하는 전체 곡선의 일반적 형태와 그 보편적 성질을 이해할 수 있어야 한다. 진정 근본적인 개념은 다름 아닌,  PV=1이라는 관계를만족시키는 변수에 대한 그 자체이다.