수학문제 풀이 목적은 개념 강화에 있다.

선행의 의미를 정확히 알고 시작하라. 선행공부를 하게 되면 자신감 있고 재미있게 열심히 하게 된다. 선행은 예습이다. 선행의 목적은 궁금증을 갖게 하기 위함이다. 어렸을 때 천재가 커가면서 평범해지는 이유는 난이도 조절에 실패했기 때문이다. 공식이나 풀이 방식만 배워 문제를 해결한다면 선행학습의 의미는 없다. 기반을 만들기 위해 반복 연습하고 확실히 개념을 잡아줄 선생이 필요하다. 사람이 갑자기 어려움에 처하게 되면 문제의 본질을 찾아가는 것이 아니라 당장 손쉬운 해결책을 찾는다. 먼저 기술이 아니라 개념을 가르쳐야 한다. 당장 성과가 없어도 개념을 먼저 가르쳐야 한다. 

 

공부 안하는 학생과 못하는 학생은 어떻게 다른가? 많은 어른들은 아이들이 의지만 있으면 무엇이든 된다고 착각한다. 의지는 본능을 이길 수 없다. 인간이 의지로 무엇을 하기보다 환경에 의해 행동하다고 생각해야 한다. 그래서 공부할 환경을 만들어야 한다. 공부를 안하던 학생이 공부하려고 하지만 책을 보아도 모르는 단어가 많고 읽어도 무슨 내용인지 이해도 못하니 머리에 남는 것도 없다. 공부도 머리에 남는 것이 있어야 나와 책이 상호작용하며 반응을 일으켜 재미있다. 공부는 책이나 강의를 통해 요점을 파악하고 주요 내용을 나열하여 원인과 결과를 파악하고, 비판하고 추론하여 판단하는 능력이 필요하다. 그래야 알게 된 내용을 통해서 새로운 사실을 알게 되고 깊이 들어가며 덧붙일 호기심이 생긴다. 이것이 공부의 기술이다. 이런 공부를 위해 필요한 것이 인지능력, 기억력이다. 기억은 공부 기술의 기반이 된다. 기억하기 암기는 머리 탓이 아니라 반복적인 훈련이다. 새롭게 알게 된 용어들, 낱말들을 기억하고 있어 자유롭게 사용할 수 있어야 그 다음 공부로 넘어갈 수 있다. 암기를 잘하는 방법이 내용을 잘 이해하는 것이다. 그래서 자신만의 언어로 암기한다.

 

중학수학 목적은 수식이다. 수학의 최종 목적은 사고력을 키워 문제해결력을 높이는데 있다. 이것을 위하여 초등학교 수학에서는 수 연산, 중학교는 수식, 고등학교에서는 다양한 수식 확장 학습을 거친다. 초등학교와 중학 수학에서 가장 기초적인 수학의 빠르기와 정확도를 요구한다. 수학은 미루면 시간부족으로 결국 포기한다. 수학 실력은 꾸준함이다. 중학교에서 다루는 수식은 일차식과 이차식이 전부다. 수식에 대한 개념보다 다양한 유형을 익혀 성적을 올리려 한다. 이런 식으로 공부하면 고등학교에 가서는 수학이 어려워진다. 개념을 확실히 잡아야 고등수학도 쉽게 접근할 수 있다. 초등수학 개념이 + -  x 나누기와 괄호, 등호, 부등호 같은 기호다. 중등수학은 - : 모자라다, = : 등식성질, I I: 절대값, 거듭제곱을 배운다. 수학개념을 가르치는 것은 귀찮은 일이다. 교과 외적인 공부같이 느껴진다. 개념의 기초는 쉽기 때문에 재미가 없고, 싫어지면 어려워져 재미가 없다. 결국 문제에 적용하여 문제푸는 법만 가르치게 된다. 개념이 구체적으로 적용되는 것이 일차식과 이차식이다.

 

많은 교사들이 학생이 문제를 풀 때 정확하게 읽지 않는다는 말을 한다. 주어진 조건을 무시하거나 문제가 요구하는 것이 아닌 다른 것을 푼다. 식을 변형하거나 조건을 붙이고 물어보는 것이 달라지면 정형화된 식으로만 문제를 풀어본 학생들은 어려워한다. 주어진 식이 미지수가 몇 개이고 다항식인지 방정식인지, 몇 차 방정식인지 알아야 이용해야 할 성질이 떠오르고, 풀기 위한 단서가 떠오른다. 중학교에서 고 1이 되면 문제는 훨씬 어려워진다. 고1에서 학생들이 힘들어 하는 것이 이차식이다. 이차방정식, 이차함수, 이차부등식이다. 이것 역시 중학교에서 배운 개념이 기반이 된다. 고등학교에서 요구하는 많은 개념이 중학교에서 익혀져야 한다. 쉬운 개념이 여러 개로 뭉치면 복잡한 문제가 된다.

 

모든 수학문제풀이 목적은 개념강화에 있다. 많은 문제만 풀려고 하면 깊고 다양한 생각을 할 수 없다. 문제만 풀면 개념을 잡기 어렵다. 개념을 잡고 중간 정도 난이도 문제를 반복해서 풀면서 개념을 확인하는 것이 좋은 수학 공부법이라 생각한다. 수학은 올바른 공부법과 노력에 대해서 절대 배신하지 않는다. 어려운 문제를 풀어봐야 하는 것은 수학이 끈기 있는 집중력이 필요하기 때문이다. 끝까지 풀려고 하는 과정이 중요하고, 끝까지 푸는 것이 중요하다. 이것이 깊은 사고력을 키우는 과정이기도 하다. 문제풀이 목적은 단연코 개인의 수학 훈련 과정이고 개인 스스로 습득하여야 한다. 문제를 풀면서 반드시 체크해야 할 것은 다음과 같다.

 

1. 개념의 설명만으로 이해하기 어렵겠지만 문제를 풀기에 앞서 개념을 최대한 이해해야 한다. 문제 푸는 기술은 먼저 익히는 순간 개념공부는 물 건너간다.

2. 풀고 있는 문제 속에서 반드시 앞서 이해한 개념을 적용한다. 개념적용을 확인해가며 한 문제집을 반복해 풀면 개념은 점점 깊어지고 이해 폭이 넓어져 공부에 효과가 있다.

3. 초등학교 등에서 배운 것이 부족한 부분이 있으면 그 자리에서 찾아 완전히 이해하고 넘어가야 한다. 진도 나가는 것은 의미 없다.

4. 하루에 한 문제만 어려운 문제를 풀어보자. 어려운 문제를 대하는 태도를 기를 필요가 있다.

5. 한 단원을 풀고 나면 개념의 적용이 어떻게 이루어지고 있는지 생가해 보는 정리시간을 갖는다. 수학의 처음과 끝은 개념이다. 정리되지 않은 지식은 꺼내 쓸 수 없고, 꺼내 쓸 수 없으면 다음으로 넘어갈 수 없다. 수학은 매일 해야 하기 때문에 한꺼번에 많은 시간, 많은 문제를 푸는 것은 능률도 오르지 않고 불가능하다.