좌표기하학
x와 y에 의해 결정될 수 있다는 개념을 끊임없이 사용해 왔다. 이때 x는 X축의 길이고 y는 Y축의 길이다.
이 개념이 좌표기하학의 근간이 된다.
이 발견은 수학 역사의 신기원을 연 기념비적 성과이다. 이는 데카르트의 업적으로 불현듯 떠올린 중요한
수학적 착상이다. 철학자들은 자신이 가진 해박한 수학지식으로 가장 값진 수학개념들을 만들어 수학
이라는 학문을 풍요롭게 해 왔다. 수학의 근본 개념들은 결국 유치하다 싶을 정도로 매우 단순하기
때문에 철학의 영역 안에서도 그럴 듯하다.
유클리드는 기원전 330년경에 태어난 인물로 알랙산드리아 대학에서 강의했다. 17세기까지 기하학은
이집트인, 그리스인, 아랍인. 게르만족의 사고영역을 두루 거쳤다.기존 기하학에는 일관된 통찰 방식이
결여되어 있다고 느꼈다. 명제는 늘 새로운 기법으로 증명되어야 했다. 과학적 사고의 주요 필요요건인
체계를 갖춘 방법틀이 결여되었다는 뜻이다. 좌표기하학이 체계적 방식을 도입해 특별한 입지를 갖게
되었다. 기하학이라는 수학과목에서 오래된 연역적 공리들은 이론적인 부분에서 그동안 누리던 최고의
입지를 내주게 되었다.
학문이 성장은 일차적으로 외형이 아닌 개념에서 일어난다. 개념이 성장할수록 반드시 명시할
연역적 공리의 수는 점점 줄어든다. 보편성은 곧 수학학의 정신이다.
수학의 다양한 분과는 일반화의 과정을 부단히 겪기 마련이며, 일단 일반화 되면 그것들은 서로
합체된다는 사실은 아무리 강조해도 지나치지 않다. 이는 수학의 본성인 보편성 때문이다. 즉 수학은
모든 사물에 적용시킬 수 있는 보편적 진리를 다루는데서 출발한다. 이와 관련해 좌표기하학에서
주목할 대목은 공간에 관한 학문으로 출발한 기히학과 수에 관한 학문에서 유래한 대수학을 서로
연계시켰다는 점이다.
대수의 개념을 먼저 취하면 우리는 별 도움없이 양 또는 음의 부호를 지닌 실수를 생각한다. 이때 근본
개념은 임의의 수, 즉 가변적인 수에 대한 개념인데 그것은 어떤 명확한 숫자가 아닌 문자로 표기
된다. 그리고 변수들 사이의 상관관계로 생각을 확장시킨다. 예컨대 x와 y가 두 변수라면 이 둘이 상호
관련 방정식 x+y=1, x-y=1 등등 수 없이 많은 식을 생각할 수 있다.
우리는 x+y=1이라는 식의 상관관계는 ax+by=c라는 상관관계로 일반화된다. 여기에서 문자 a, b, c는
임의의 수를 나타내며 이는 변수이다. 가변적 상관관계를 결정하는 변수이다. 그것이 결정될 때 비로소
상관관계는 변수 x와 y를 상호관계 시킨다. 이처럼 상관관계를 결정시키는데 사용되는 a, b, c와 같은
변수를 가변상수 혹은 매개변수라 일컫는다.
기하학이라는 과목은 직각 삼각형, 직사각형, 정사각형, 원 같은 서로 특별한 관계에 있는 대상을
드러내는 형상과 도표를 떠올리게 한다. 삼각형이란 무엇인가? 그것은 세개의 선분으로 경계 지어진
형상이다. 선분에 의한 공간상의 경계란 매우 복잡한 개념으로 전혀 기하학의 뼈대를 형성할 간명한 일반
개념이라 할 수 없다.
하나의 선분 대신 양쪽으로 끝없이 뻗어가는 직선 전체를 생각하자. 이는 기하학적 탐구를 촉발
시키는 일반적 개념이다. 유클리드는 직선을 항상 확정된 두 점 사이에 그려진 것으로 보았으며, 직선이
이런 선분이 가진 의미를 넘어 설 때는 그 표현에 세심한 주의를 기울였다. 전체로서 파악되는 직선은
근대 기하학이 출발하는 근간이다.
고대인들도 원과 타원의 특성을 알았지만 그것들은 전체로서 파악되었다. 유클리드는 원을 두고, 그 일부
혹은 조각 즉 호에서 시작하여 다시 그 연장으로 파악하는 경우가 결코 없었다, 곡선이란 그 위에서 어떤
일률적 특성을 보이는 점의 집합으로 파악되며 이는 기하학에서 자취라는 용어로 표현된다.
즉 점들이 그 상호관계에서 가질수 있는 성질마다 제각기 그 에 상응하는 자취가 존재하며, 역으로
각 자취란 어떤 특징을 갖는 모든 점들로 구성된다. 결국 기하학에서 우리는 다시 변수의 근본개념
과 만난다. 게다가 직선, 원, 타원 같은 표제로 그 자취를 분류하면서 다시 형식의 개념을 발견한다.
우리가 대수학에서 가변적 수를 가변적 수들간의 상관관계, 대수적 형식 개념에 의거한 상관관계의
유형 등에 주목했듯이 기하학에서도 우리는 가변적 점들, 하나의 자취를 형성할 조건을 충족시키는
가변적 점들의 상관관계, 동일한 조건에 의해 생기는 자취의 유형에 주목하게 된다.
이제 좌표기하학의 핵심은 대수적 상관관계와 기하학적 자취와의 동일성을 입증하는 것으로 요약
된다. 한 평면 위의 점이 대수학에서는 두 좌표 x와 y에 의해 표현 된다. 그리고 어떤 자취 위의
임의의 점을 표현하는 조건은 x와 y사이에 상응하는 상관관계로 표현된다.
어떤 자취가 익히 알려진 대수적 형식과 상응하는가? 예컨대 대수적 형식의 일반적 유형들 중에서
가장 단순한 것은 ax+by=c 이다. 이에 상응하는 자취는 직선이고, 역으로 모든 직선에는 이같은
형식의 방정식이 상응한다.
임의의 원점과 축이라는 수학 개념은 우주 현상을 기술하는데도 적용되어 왔다. 그것은 우리가
감각으로 세상을 파악할 때에도 가장 바탕이 되는 그런 개념을 압축해서 상징하는 것이다. 우주의
특정공간을 점유하는 우리의 위치는 우리 신체의 존재를 나타낸다. 우리는 모든 공간에서 발생하는 모든
현상을 특정관점에 치우치지 않고, 동일하게 바라보는 존재를 설정할 수 있다.
우리가 아는 것을 다른 사람들과 함께 공유하며 축적해 가지 못한다면, 우리는 모두 각각의 여기만 인식
하며, 자기중심적인 발상만 할 수 밖에 없다. 즉 엄격히 고정된 여기를 설정할 수 없고, 어디쯤의 여기만
있게 된다. 따라서 일상적으로 통용되는 거리란 각각의 나로부터 떨어진 거리가 아닌 인근 시청으로
부터의 거리 혹은 수도를 기점으로 한 거리 따위다.
벡터의 개념 즉 방향을 갖는 크기의 개념이야말로 물리과학의 근간이다. 모든 움직이는 물체는
특정 방향을 향해 특정 크기의 속력을 갖는다. 다시말해 움직이는 물체의 속도란 하나의 방향을
갖는 크기요, 하나의 벡터이다. 그리고 힘 역시 일정한 크기와 방향을 갖는다.